Fonctions régulières
Lorsque f est au moins de classe C1, on peut reconstruire
un relèvement θ par « ingénierie à l'envers » (aussi
appelée « analyse-synthèse ») en dérivant la relation f(t)=exp(iθ(t)) :
f′(t)=iθ′(t)f(t)⟹θ′(t)=−if(t)f′(t)=−i∣f(t)∣2f′(t)f(t)Comme l'image de f est incluse dans le cercle unité, on a
∣f(t)∣2=1. En dérivant cette relation par rapport à t, on
obtient :
∣f(t)∣2f′(t)f(t)+f(t)f′(t)=f(t)f(t)=1=2Re[f′(t)f(t)]=0Ainsi, f′(t)f(t) est un nombre imaginaire pur. Soit
θ0∈R tel que f(0)=eiθ0∈U. On peut alors définir :
γ(t)θ(t):=−if′(t)f(t)∈R:=θ0+∫u=0tγ(u)duOn vérifie que, f étant de classe C1, γ est
bien une fonction continue de I dans R, ce qui fait de
θ une fonction de classe C1 à son tour.
Fonctions continues
Si f est seulement une fonction continue, la démonstration est
sensiblement différente et fait appel à des notions de topologie comme la
continuité uniforme.