Théorème de relèvement

Ce théorème peut s'avérer utile pour étudier une fonction réelle à valeurs complexes ne passant pas par zéro. On note \(\mathbb U = \{ z \in {\mathbb C}, |z| = 1 \}\) le cercle unité du plan complexe.

Théorème

Si \(f\) est une fonction continue sur un intervalle \(I \subset \mathbb{R}\) à valeurs dans le cercle unité \(\mathbb U\) du plan complexe, alors il existe une fonction \(\theta\) continue sur \(I\) à valeurs dans \(\mathbb R\) telle que :

\begin{equation*} \forall t \in I,\ f(t) = \exp(i \theta(t)) \end{equation*}

On dit que \(\theta\) est un relèvement de \(f\).

Généralisation

Si \(f\) est une fonction continue sur un intervalle \(I \subset \mathbb{R}\) à valeurs dans le plan complexe \(\mathbb C^*\) privé de l'origine, alors il existe une fonction \(\theta\) continue sur \(I\) à valeurs dans \(\mathbb R\) telle que :

\begin{equation*} \forall t \in I,\ f(t) = |f(t)| \exp(i \theta(t)) \end{equation*}

Si la fonction \(f\) est de classe \({\cal C}^k\) pour un certain entier naturel \(k\), alors il existe un relèvement \(\theta\) de \(f\) qui est également de classe \({\cal C}^k\).

Remarque

Deux relèvements de \(f\) diffèrent d'une constante \(2k \pi\)\(k\) est un entier relatif.

Démonstration

Fonctions régulières

Lorsque \(f\) est au moins de classe \({\cal C}^1\), on peut reconstruire un relèvement \(\theta\) par « ingénierie à l'envers » (aussi appelée « analyse-synthèse ») en dérivant la relation \(f(t) = \exp(i \theta(t))\) :

\begin{equation*} f'(t) = i \theta'(t) f(t) \Longrightarrow \theta'(t) = -i \frac{f'(t)}{f(t)} = -i \frac{f'(t) \overline{f}(t)}{|f(t)|^2} \end{equation*}

Comme l'image de \(f\) est incluse dans le cercle unité, on a \(|f(t)|^2 = 1\). En dérivant cette relation par rapport à \(t\), on obtient :

\begin{align} |f(t)|^2 & = f(t) \overline{f}(t) = 1 \\ f'(t) \overline{f}(t) + f(t) \overline{f'}(t) & = 2 \mathrm{Re}\left[f'(t) \overline{f}(t)\right] = 0 \\ \end{align}

Ainsi, \(f'(t) \overline{f}(t)\) est un nombre imaginaire pur. Soit \(\theta_0 \in \mathbb{R}\) tel que \(f(0) = e^{i \theta_0} \in {\mathbb{U}}\). On peut alors définir :

\begin{align} \gamma(t) & := -i f'(t) \overline{f}(t) \in \mathbb{R} \\ \theta(t) & := \theta_0 + \int_{u=0}^t \gamma(u) {\rm d} u \end{align}

On vérifie que, \(f\) étant de classe \({\cal C}^1\), \(\gamma\) est bien une fonction continue de \(I\) dans \(\mathbb{R}\), ce qui fait de \(\theta\) une fonction de classe \({\cal C}^1\) à son tour.

Fonctions continues

Si \(f\) est seulement une fonction continue, la démonstration est sensiblement différente et fait appel à des notions de topologie comme la continuité uniforme.

Pour aller plus loin

La page Théorème du relèvement (Wikipédia) présente le théorème sous une forme plus générale faisant appel au concept topologique de revêtement.

Discussion

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